2円の交点を内積で求める finding the intersection of two circles using inner product
はじめに ある光波測距儀設置点ls_pからの複数の測点の結果があって,その測点のうち2点A, Bの3Dマップ上の座標値,(Xa, Ya), (Xb, Yb),が得られている場合,ls_pを求めることができる。なお,測量結果にはls_pから2点A, Bまでの水平距離HD,Ra, Rb,が含まれる。 二つの円の交点を求める課題と同様で,すでに別のページで述べたように,二つの円の連立方程式を解く手法があるが,問題が出てきて,その対処に手間取った。 次のWeb情報は極めて有効だが,ぼくからすると,簡潔すぎるので,ダサい補足説明を加えている。Microsoft Excelについても,多少,みかけだけだが,使いやすくした。大矢建正のページ(数学,数楽 & プログラム)(大矢さんは数学,数学教育,情報学が専門の元東海大学教授),の, 図形と方程式 2円の交点 [PDF] Excel プログラム[xls] 図表1 2円の交点のpdfとエクセルファイル 概要 Microsoft Excelに入力すべき情報は次のようである。 測点Aの座標値:(Xa, Ya)光波測距儀設置点ls_pから測点Aまでの水平距離:Ra測点Bの座標値:(Xb, Yb)光波測距儀設置点ls_pから測点Bまでの水平距離:Rb 図2は,当方のモデルである。2円の交点は,P1とP2である。この何れかに,光波測距儀の設置点 ls_pがある。計算式の作成上,慣例的に交点をP,Qとするより,理にかなっていると思っている。N(normal,大矢氏の記号はH)は,線分AB,線分P1P2の(垂直)交点にあたっている。 計算結果は,次のようだ。交点P1の座標値:(Xp1, Yp1)交点P2の座標値:(Xp2, Yp2) 計算の考え方: 円の幾何学から,ベクトルABとベクトルP1P2が直交することは自明である。その交点N上で,ベクトルABに直交するベクトルNP1の単位ベクトルnを求めて,ベクトルNP1,NP2を得るという流れになる。 ベクトルの内積を利用した計算である。補足説明を加えてゆく。なお,この計算では慣例通り,NP2はNP1にマイナス符号をつける形で求めている。 ステップ1 線分AN長を求める 図1の凧形でピタゴラスの定理を使って求める。 AN+BN=AB………式(1) 但し,ABの値はピタゴラスの定理で自明 AN^2 – BN^2 = Ra^2 – Rb^2………式(2) 但し,図1の凧形AP1BP2は直角三角形で構成されており,AN^2 = Ra^2 -NP1^2,BN^2 = Rb^2 -NP1^2が成り立つ。 AN – BN = […]

